Дано:
1. Радиус шара (R), вписанного в правильную треугольную призму.
Найти:
Площадь полной поверхности призмы (S).
Решение:
1. В правильной треугольной призме основание является правильным треугольником, а высота призмы обозначим как h.
2. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности (r) соотносится с его стороной (a) по формуле:
r = (a * √3) / 6.
Поскольку радиус шара равен радиусу вписанной окружности, имеем:
R = (a * √3) / 6.
Отсюда можно выразить сторону a:
a = (6R) / √3 = 2√3R.
3. Площадь основания S_основания правильной треугольной призмы:
S_основания = (√3 / 4) * a².
Подставим значение a:
S_основания = (√3 / 4) * (2√3R)² = (√3 / 4) * (4 * 3R²) = 3√3R².
4. Площадь боковых граней призмы:
Площадь боковых граней = Perimeter * h.
Периметр основания (P) = 3a = 3 * (2√3R) = 6√3R.
5. Полная площадь боковых граней:
S_боковые = P * h = (6√3R) * h.
6. Общая площадь полной поверхности призмы:
S = 2 * S_основания + S_боковые.
S = 2 * (3√3R²) + (6√3R) * h.
S = 6√3R² + 6√3Rh.
Ответ:
Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы равна 6√3R² + 6√3Rh.