дано:
- Правильная треугольная призма с основанием в форме правильного треугольника со стороной a.
- Высота призмы h.
найти:
Отношение объёма V1 цилиндра, вписанного в призму, к объёму V2 цилиндра, описанного около призмы.
решение:
1. Начнём с нахождения объёма цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму. Цилиндр, вписанный в призму, будет иметь радиус r, равный радиусу окружности, описанной около треугольника, и высоту h.
Площадь основания правильного треугольника S можно вычислить по формуле:
S = (sqrt(3) / 4) * a^2.
Объём V1 цилиндра, вписанного в призму, будет равен:
V1 = S * h = [(sqrt(3) / 4) * a^2] * h.
2. Теперь найдём объём цилиндра, описанного вокруг правильной треугольной призмы. Радиус R этого цилиндра равен длине высоты, проведённой из центра основания до вершины треугольника. В правильном треугольнике высота h треугольника будет равна:
h_tri = (sqrt(3)/2) * a.
Таким образом, для цилиндра, описанного вокруг призмы, объём V2 будет равен:
V2 = πR^2h, где радиус R равен (a / sqrt(3)).
Следовательно,
V2 = π * (a/sqrt(3))^2 * h = π * (a^2 / 3) * h.
3. Теперь найдём отношение объёмов V1 и V2:
Отношение = V1 / V2 = {[(sqrt(3) / 4) * a^2] * h} / {(π * (a^2 / 3) * h)}.
Упрощаем это выражение:
Отношение = [(sqrt(3) / 4)] / [(π / 3)] = (sqrt(3) * 3) / (4 * π) = (3 * sqrt(3)) / (4 * π).
ответ:
Отношение объёма цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, к объёму цилиндра, описанного около этой призмы, равно (3 * sqrt(3)) / (4 * π).