Дано:
Радиус развёртки боковой поверхности конуса r_разв = 12 см.
Градусная мера дуги сектора α = 240°.
Найти: радиус основания конуса r_осн.
Решение:
1. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор с радиусом r_разв и длиной дуги L. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
2. Длина дуги сектора вычисляется по формуле:
L = 2 * π * r_разв * (α / 360°),
где α — угол дуги сектора в градусах.
3. Длина окружности основания конуса равна:
L = 2 * π * r_осн.
4. Поскольку длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, приравняем эти два выражения:
2 * π * r_разв * (α / 360°) = 2 * π * r_осн.
5. Сократим на 2 * π, и подставим значение угла α = 240°:
r_разв * (240° / 360°) = r_осн.
6. Упростим выражение:
r_разв * (2 / 3) = r_осн.
7. Подставим значение r_разв = 12 см:
12 * (2 / 3) = r_осн.
8. Выполним вычисления:
r_осн = 12 * 2 / 3 = 8 см.
Ответ: Радиус основания конуса равен 8 см.