Дано:
- AВ = ВС = CD = a
- AD = 2a
- EF — средняя линия трапеции ABCD
Найти:
Площадь поверхности тела вращения S, образованного вращением трапеции вокруг средней линии EF.
Решение:
1. Находим длину средней линии EF. Средняя линия трапеции определяется как среднее арифметическое оснований:
EF = (AD + BC) / 2 = (2a + a) / 2 = (3a) / 2 = 1.5a.
2. Теперь находим высоту h трапеции. Поскольку AВ и CD равны, можно рассмотреть треугольники ABE и CDE. Полная высота h трапеции будет равна высоте одного из этих равнобедренных треугольников.
3. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты h. В треугольнике ABE:
AE = (AD - BC) / 2 = (2a - a) / 2 = a / 2.
Обозначим высоту как h. Тогда:
h^2 + (a/2)^2 = a^2,
h^2 + a^2/4 = a^2,
h^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4,
h = sqrt(3a^2/4) = (sqrt(3)/2)a.
4. Площадь поверхности тела вращения можно найти по формуле:
S = 2 * π * r * h,
где r — расстояние от средней линии до основания, в данном случае это половина разности длин оснований AD и BC:
r = (AD - BC) / 2 = (2a - a) / 2 = a / 2.
5. Подставляем значения в формулу:
S = 2 * π * (a/2) * ((sqrt(3)/2) * a) = π * a * (sqrt(3)/2) * a = (sqrt(3)/2) * π * a^2.
Ответ:
Площадь поверхности тела вращения составляет (sqrt(3)/2) * π * a^2.