Дано:
- AB = 6√3 см (высота трапеции).
- BC = 2 см (верхнее основание трапеции).
- ∠D = 60°.
Найти:
Площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса S_b.
Решение:
1. В трапеции ABCD, так как угол D равен 60°, то можно найти длину стороны AD, используя тригонометрию в прямоугольном треугольнике ABD.
2. Известно, что AB является высотой, и мы можем использовать соотношение:
AD = AB / sin(60°).
3. Подставим известные значения:
AD = (6√3) / (√3/2) = 6√3 * (2/√3) = 12 см.
4. Теперь у нас есть радиусы верхнего и нижнего оснований усечённого конуса:
R1 (нижнее основание) = AD = 12 см,
R2 (верхнее основание) = BC = 2 см.
5. Образующая усечённого конуса l равна длине боковой стороны CD. Для нахождения длины CD используем теорему Пифагора в треугольнике ACD:
AC = √(AD² - AB²) = √(12² - (6√3)²) = √(144 - 108) = √36 = 6 см.
CD = AC + BC = 6 + 2 = 8 см.
6. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:
S_b = π * (R1 + R2) * l.
7. Подставим известные значения:
S_b = π * (12 + 2) * 8 = π * 14 * 8 = 112π см².
Ответ:
Площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса составляет 112π см².