Дано:
- Радиус меньшего основания r = 5 см.
- Радиус большего основания R = 15 см.
- Диагональ осевого сечения d = 4√61 см.
Найти:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса Sбок.
Решение:
1. Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса используется формула:
Sбок = π * (R + r) * L,
где L — образующая усечённого конуса.
2. Образующая L может быть найдена через диагональ осевого сечения d. В данном случае, диагональ осевого сечения представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором катеты составляют разность радиусов оснований и высоту h.
3. Катеты треугольника:
a = R - r = 15 см - 5 см = 10 см,
b = h (высота).
4. По теореме Пифагора имеем:
d² = a² + b²,
где d = 4√61 см.
5. Подставим известные значения:
(4√61)² = 10² + h²,
16 * 61 = 100 + h²,
976 = 100 + h²,
h² = 976 - 100 = 876,
h = √876 = 2√219 см.
6. Теперь найдем образующую L:
L = √(h² + (R - r)²) = √(h² + (10)²) = √((2√219)² + 10²).
L = √(4 * 219 + 100) = √(876 + 100) = √976 = 4√61 см.
7. Теперь подставим L в формулу для площади боковой поверхности:
Sбок = π * (R + r) * L = π * (15 см + 5 см) * (4√61 см).
Sбок = π * 20 см * (4√61 см) = 80π√61 см².
Ответ:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна 80π√61 см².