Дано:
- Радиус меньшего основания r2 = 2 см.
- Радиус большего основания r1 = 13 см.
- Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания α = 30°.
Найти:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса (S_b).
Решение:
1. Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса используется формула:
S_b = π * (r1 + r2) * l,
где l — образующая усечённого конуса.
2. Чтобы найти образующую l, используем высоту h и угол α. Учитывая, что диагональ осевого сечения образует угол с основанием, можно выразить высоту через образующую:
h = l * sin(α).
3. Сначала найдем разность радиусов оснований:
Δr = r1 - r2
= 13 - 2
= 11 см.
4. Теперь используем тангенс угла α для определения соотношения между высотой и радиусами:
tan(30°) = Δr / h.
5. Зная, что tan(30°) = 1/√3, мы можем записать уравнение:
1/√3 = 11 / h.
6. Перепишем и решим уравнение для h:
h = 11√3 см.
7. Теперь, чтобы найти образующую l, применим теорему Пифагора в треугольнике, где одна сторона – это высота h, а другая – это разность радиусов оснований:
l = √(h² + Δr²)
= √((11√3)² + 11²)
= √(363 + 121)
= √484
= 22 см.
8. Подставим значения r1, r2 и l в формулу для площади боковой поверхности:
S_b = π * (r1 + r2) * l
= π * (13 + 2) * 22
= π * 15 * 22
= 330π см².
Ответ:
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна 330π см².