Дано:
a - сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды. α - двугранный угол при ребре основания пирамиды.
Найти:
S - площадь осевого сечения вписанного в пирамиду конуса.
Решение:
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту и два противоположных ребра основания. Получим равнобедренный треугольник с основанием a и высотой h (высотой пирамиды).
В этом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен α. Поэтому высоту пирамиды h можно выразить через сторону основания a:
h = a/(2*tg(α/2))
Радиус R основания вписанного конуса равен половине стороны основания:
R = a/2
Образующая l вписанного конуса находится по теореме Пифагора:
l² = h² + R² = [a/(2*tg(α/2))]² + (a/2)²
l = √([a/(2*tg(α/2))]² + (a/2)²)
Площадь осевого сечения вписанного конуса (равнобедренный треугольник):
S = R * l = (a/2) * √([a/(2*tg(α/2))]² + (a/2)²)
Ответ:
(a/2) * √([a/(2*tg(α/2))]² + (a/2)²)