Дано:
Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.
Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°.
Необходимо найти площадь боковой поверхности конуса, вписанного в эту пирамиду.
Решение:
1. Найдем гипотенузу основания пирамиды:
гипотенуза = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.
2. Вершина конуса лежит на высоте пирамиды. Площадь боковой поверхности конуса зависит от радиуса основания и высоты.
3. Радиус основания конуса равен расстоянию от центра вписанной окружности основания (прямоугольного треугольника). Для прямоугольного треугольника радиус окружности, вписанной в него, можно найти по формуле:
r = (a + b - c) / 2,
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
r = (6 + 8 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2 см.
4. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
S = π * r * l,
где r — радиус основания, l — образующая конуса.
5. Чтобы найти образующую l, используем условие, что угол между ребрами пирамиды и основанием равен 60°. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, следовательно, образующая конуса равна длине отрезка, соединяющего вершину пирамиды с точкой на основание, что составляет 8 см.
6. Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности:
S = π * 2 * 8 = 16π см².
Ответ: площадь боковой поверхности конуса равна 16π см².