Дано:
Точка N(-1; 2; -2), радиус сферы r = 3, центр сферы лежит на оси аппликат (то есть имеет вид C(0; b; 0)).
Найти: уравнение сферы.
Решение:
Уравнение сферы с центром в точке C(0; b; 0) и радиусом r записывается в виде:
(x - 0)² + (y - b)² + (z - 0)² = r²,
или, проще:
x² + (y - b)² + z² = r².
Поскольку радиус сферы равен 3, то r² = 9. Уравнение сферы будет:
x² + (y - b)² + z² = 9.
Теперь, используя, что точка N(-1; 2; -2) лежит на сфере, подставим её координаты в уравнение сферы:
(-1)² + (2 - b)² + (-2)² = 9.
Преобразуем выражение:
1 + (2 - b)² + 4 = 9,
(2 - b)² + 5 = 9,
(2 - b)² = 9 - 5,
(2 - b)² = 4.
Теперь решим квадратное уравнение:
2 - b = ±2.
Это даёт два случая:
1) 2 - b = 2,
b = 0.
2) 2 - b = -2,
b = 4.
Таким образом, центр сферы может быть в точке C(0; 0; 0) или в точке C(0; 4; 0).
Ответ:
Уравнение сферы для центра в точке C(0; 0; 0):
x² + (y)² + z² = 9.
Уравнение сферы для центра в точке C(0; 4; 0):
x² + (y - 4)² + z² = 9.