Дано:
- Сфера с центром в точке O и радиусом R (в СИ).
- Две плоскости, удаленные от центра сферы на расстояния h₁ и h₂. Пусть h₁ < h₂.
- Нужно доказать, что сечение, сделанное плоскостью с меньшим удалением от центра сферы, имеет больший радиус.
Найти: Радиусы сечений сферы, сделанных плоскостями, и доказать, что радиус сечения, сделанного плоскостью, расположенной ближе к центру сферы, больше.
Решение:
1. Рассмотрим сферу с центром в точке O и радиусом R. Пусть плоскости пересекают сферу на расстояниях h₁ и h₂ от центра. Эти плоскости пересекают сферу окружностями, радиус которых зависит от расстояния плоскости от центра.
2. Радиус сечения окружности, образующейся в результате пересечения плоскости с поверхностью сферы, можно найти с помощью теоремы Пифагора. Для любой плоскости, удаленной от центра на расстояние h, радиус сечения Rₛ будет вычисляться по формуле:
Rₛ = √(R² - h²).
3. Поскольку h₁ < h₂, это означает, что плоскость, расположенная на расстоянии h₁ от центра, будет ближе к центру, чем плоскость, удаленная на h₂.
4. Подставим в формулу для радиуса сечения значения h₁ и h₂:
- Радиус сечения для плоскости на расстоянии h₁:
Rₛ₁ = √(R² - h₁²).
- Радиус сечения для плоскости на расстоянии h₂:
Rₛ₂ = √(R² - h₂²).
5. Поскольку h₁ < h₂, то из неравенства h₁² < h₂² следует, что:
R² - h₁² > R² - h₂².
6. Это значит, что:
√(R² - h₁²) > √(R² - h₂²),
то есть Rₛ₁ > Rₛ₂.
Ответ: Радиус сечения, сделанного плоскостью, которая ближе к центру сферы, больше.