Дано:
1. Угол треугольника (α) = 150°.
2. Противолежащая сторона (a) = 15 см.
3. Боковое ребро призмы (h) = 16 см.
Найти:
Радиус сферы, вписанной в данную призму (R).
Решение:
1. Сначала найдем площадь основания призмы, которое является треугольником. Для этого используем формулу площади треугольника через сторону и угол:
S = (1/2) * a * b * sin(α),
где b — другая сторона, прилежащая к углу α. Для нахождения b используем закон синусов:
b = (a * sin(β)) / sin(α),
где β — угол, противолежащий стороне a. Мы можем найти β:
β = 30° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).
2. Применяем закон синусов:
b = (15 * sin(30°)) / sin(150°) = (15 * 0.5) / 0.5 = 15 см.
3. Теперь нам нужно найти высоту h относительно стороны a. Используем формулу:
h = a * sin(α) = 15 * sin(150°) = 15 * 0.5 = 7.5 см.
4. Площадь основания S:
S = (1/2) * a * b * sin(α) = (1/2) * 15 * 15 * sin(150°) = (1/2) * 15 * 15 * 0.5 = 56.25 см².
5. Радиус вписанной сферы R для призмы вычисляется по формуле:
R = V / S,
где V — объем призмы. Объем V равен:
V = S * h = 56.25 * 16 = 900 см³.
6. Теперь подставим значения:
R = 900 / 56.25 = 16 см.
Ответ:
Радиус сферы, вписанной в данную призму, равен 16 см.