Дано:
1. Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды (α).
2. Сторона основания (a).
Найти:
Радиус сферы, описанной около данной пирамиды (R).
Решение:
1. В правильной четырехугольной пирамиде радиус описанной сферы можно выразить через сторону основания и угол при вершине. Радиус описанной сферы R определяется по формуле:
R = (a / 2) / sin(α / 2).
2. Поскольку основание является квадратом, высота пирамиды (h) может быть найдена через сторону основания и угол α. Высота h определяется как:
h = (a / 2) * tan(α / 2).
3. Теперь подставим значение h в формулу для радиуса R:
R = √((a / 2)² + h²).
4. Подставив h:
R = √((a / 2)² + ((a / 2) * tan(α / 2))²).
5. Упрощаем:
R = √((a² / 4) + (a² / 4) * tan²(α / 2)).
6. Вынесем общий множитель:
R = (a / 2) * √(1 + tan²(α / 2)).
7. Используя тригонометрическую идентичность:
1 + tan²(α / 2) = sec²(α / 2),
получаем:
R = (a / 2) * sec(α / 2).
Ответ:
Радиус сферы, описанной около данной пирамиды, равен (a / 2) * sec(α / 2).