Question

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см, а боковые рёбра пирамиды равны. Найдите высоту пирамиды, если радиус шара, описанного около этой пирамиды, равен 13 см.

Answer 1

Дано:
1. Катеты прямоугольного треугольника (a) = 10 см и (b) = 24 см.
2. Радиус шара, описанного около пирамиды (R) = 13 см.
3. Боковые рёбра пирамиды равны.

Найти:
Высоту пирамиды (h).

Решение:

1. Площадь основания S (прямоугольного треугольника) вычисляется по формуле:

   S = (1/2) * a * b = (1/2) * 10 * 24 = 120 см².

2. Гипотенуза (c) треугольника вычисляется по теореме Пифагора:

   c = √(a² + b²) = √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26 см.

3. Периметр основания P равен:

   P = a + b + c = 10 + 24 + 26 = 60 см.

4. Объем V правильной пирамиды можно выразить через радиус R и площадь основания S:

   V = (1/3) * S * h.

5. Радиус описанной сферы R связан с высотой h и радиусом вписанной окружности r, используя формулу:

   R = (S + V) / P.

6. Объем V можно выразить через радиус R и высоту h:

   V = (1/3) * S * h.

7. Подставляя V в формулу для R:

   R = (S + (1/3) * S * h) / P.

8. Умножим обе стороны на P:

   R * P = S + (1/3) * S * h.

9. Переносим S на левую сторону:

   R * P - S = (1/3) * S * h.

10. Умножим обе стороны на 3:

    3(R * P - S) = S * h.

11. Теперь выразим h:

    h = 3(R * P - S) / S.

12. Подставим известные значения:

    h = 3(13 * 60 - 120) / 120.

13. Вычислим:

    h = 3(780 - 120) / 120 = 3(660) / 120 = 1980 / 120 = 16.5 см.

Ответ:
Высота пирамиды равна 16.5 см.