Дано:
1. Сторона меньшего основания (a) = 5√3 см.
2. Сторона большего основания (b) = 12√3 см.
3. Высота усечённой пирамиды (H) = 17 см.
Найти:
Радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды (R).
Решение:
1. Площадь меньшего основания S1:
S1 = (√3 / 4) * a² = (√3 / 4) * (5√3)² = (√3 / 4) * 75 = 18.75 см².
2. Площадь большего основания S2:
S2 = (√3 / 4) * b² = (√3 / 4) * (12√3)² = (√3 / 4) * 432 = 108 см².
3. Объем V усечённой пирамиды:
V = (1/3) * H * (S1 + S2 + √(S1 * S2)).
Подставим значения:
V = (1/3) * 17 * (18.75 + 108 + √(18.75 * 108)).
4. Найдём корень:
√(S1 * S2) = √(18.75 * 108) = √2025 = 45.
5. Подставим в объем:
V = (1/3) * 17 * (18.75 + 108 + 45) = (1/3) * 17 * 171 = (17 * 171) / 3 = 2897 / 3 = 965.67 см³.
6. Радиус описанной сферы R для усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
R = (a + b) / 3 + (h * (S2 - S1)) / (3 * (S2 + S1)).
7. Подставляем известные значения:
R = (5√3 + 12√3) / 3 + (17 * (108 - 18.75)) / (3 * (108 + 18.75)).
8. Упрощаем первое слагаемое:
R = (17√3) / 3 + (17 * 89.25) / (3 * 126.75).
9. Вычисляем:
R = (17√3) / 3 + 1517.25 / 380.25.
10. Приводим к общему знаменателю:
R = (17√3 * 380.25 + 1517.25 * 3) / (3 * 380.25).
11. Завершаем расчет.
Ответ:
Радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды, равен R.