Question

Найдите радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна а, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен а.

Answer 1

дано:
a - сторона основания правильной четырехугольной пирамиды α - двугранный угол при ребре основания

найти:
r - радиус вписанного шара

решение:

Высота боковой грани (равнобедренного треугольника) h_гр:
tg(α/2) = (a/2) / h_гр h_гр = a/(2tg(α/2))

Высота пирамиды H:
H = h_гр - в правильной четырехугольной пирамиде высота боковой грани равна высоте пирамиды.

Радиус вписанной в квадрат окружности (основание пирамиды):
R_осн = a/2

Радиус вписанного в пирамиду шара r находится из соотношения:
1/r = 1/H + 1/R_осн = 2tg(α/2)/a + 2/a

r = a / (2tg(α/2) + 2)

ответ:
r = a / (2tg(α/2) + 2)