Дано:
1. Треугольник ABC является основанием пирамиды DABC.
2. AB = BC.
3. AC = a.
4. Угол ∠BAC = α.
5. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны β.
Найти:
Радиус шара, вписанного в данную пирамиду (R).
Решение:
1. В основании пирамиды треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = BC. Обозначим длину стороны AB (или BC) как b.
2. Используя закон косинусов для треугольника ABC, можем найти b:
b² = AC² + AC² - 2 * AC * AC * cos(α)
b² = a² + a² - 2a²cos(α)
b² = 2a²(1 - cos(α))
b = a√(2(1 - cos(α))) = a√(2sin²(α/2)) = a * sin(α).
3. Площадь основания (S_основания) треугольника ABC:
S_основания = (1/2) * AB * AC * sin(∠BAC)
S_основания = (1/2) * b * a * sin(α).
Подставляем b:
S_основания = (1/2) * (a * sin(α)) * a * sin(α) = (a² * sin²(α)) / 2.
4. Полупериметр основания (p):
p = (AB + BC + AC) / 2 = (b + b + a) / 2 = (2b + a) / 2 = (2a * sin(α) + a) / 2 = a(sin(α) + 1).
5. Высота пирамиды (h) с учетом двугранного угла β:
h = b * tan(β) = (a * sin(α)) * tan(β).
6. Радиус вписанной сферы (R) в пирамиду:
R = (S_основания * h) / (p * (h + r)),
где r — радиус вписанной окружности основания.
7. Радиус вписанной окружности основания (r):
r = S_основания / p = ((a² * sin²(α)) / 2) / (a(sin(α) + 1)) = (a * sin²(α)) / (2(sin(α) + 1)).
8. Подставляем значения в формулу для R:
R = (S_основания * h) / (p * (h + r)).
Подставляем известные значения:
R = ((a² * sin²(α) / 2) * (a * sin(α) * tan(β))) / (a(sin(α) + 1) * ((a * sin(α) * tan(β)) + (a * sin²(α)) / (2(sin(α) + 1)))).
Ответ:
Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен (a² * sin²(α) * tan(β)) / (2(sin(α) + 1) * (tan(β) + (sin²(α)/(2(sin(α) + 1))))).