Дано:
1. Площадь основания пирамиды (S).
2. Центр шара, вписанного в пирамиду, делит её высоту в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды.
Найти:
Площадь полной поверхности пирамиды (S_total).
Решение:
1. Обозначим высоту пирамиды как H. Поскольку центр шара делит высоту в отношении 2:1, высота от центра шара до основания равна H/3, а от вершины пирамиды до центра шара — 2H/3.
2. Радиус вписанного шара (R) можно выразить через площадь основания и высоту:
R = (S * (H/3)) / (S + H * p),
где p — полупериметр основания. Однако, чтобы упростить расчеты, мы будем использовать известные свойства пирамиды.
3. Площадь боковой поверхности (S_b) пирамиды может быть найдена как сумма площадей боковых граней. Поскольку двугранные углы равны, можно считать, что все боковые грани равны.
4. Обозначим количество боковых граней как n. Площадь одной боковой грани (S_боковая) можно выразить как:
S_боковая = (1/2) * основание * высота боковой грани.
5. Высота боковой грани h_b можно выразить через H и угол между боковой гранью и основанием (β).
h_b = H * sin(β).
6. Полная площадь боковой поверхности:
S_b = n * S_боковая.
7. Общая площадь полной поверхности пирамиды:
S_total = S + S_b.
8. Подставляя все известные значения, получим:
S_total = S + n * (1/2) * основание * (H * sin(β)).
Ответ:
Площадь полной поверхности пирамиды равна S + n * (1/2) * основание * (H * sin(β)).