Дано:
1. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания (β) = 45°.
2. Радиус вписанной сферы (R) = √2 см.
Найти:
Длину линии пересечения данной сферы и плоскости, проходящей через точку M параллельно основанию пирамиды.
Решение:
1. Площадь основания правильной треугольной пирамиды можно выразить через радиус вписанной сферы. Радиус вписанной сферы (R) в правильной треугольной пирамиде связан с высотой (H) и площадью основания (S) следующим образом:
R = 3S / (p * H),
где p — полупериметр основания.
2. Для правильного треугольника со стороной a:
S = (√3 / 4) * a² и p = (3a) / 2.
3. Высота H правильной треугольной пирамиды при двугранном угле 45°:
H = R * (1 + √2).
4. В данном случае радиус вписанной сферы равен √2, следовательно:
H = √2 * (1 + √2) = √2 + 2 см.
5. Плоскость, проходящая через точку M и параллельная основанию, будет находиться на расстоянии R от основания. Радиус пересечения с плоскостью будет равен R, так как плоскость не изменяет радиус сферы.
6. Длина линии пересечения сферы и плоскости будет равна окружности, проходящей через радиус сферы:
L = 2πR.
7. Подставим значение радиуса:
L = 2π * √2 см.
Ответ:
Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через точку M параллельно основанию пирамиды, равна 2π√2 см.