Дано:
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды (a) = 6 см.
2. Угол между боковым ребром и плоскостью основания (α) = 45°.
Найти:
Объем пирамиды (V).
Решение:
1. Площадь основания S правильного треугольника вычисляется по формуле:
S = (√3 / 4) * a².
2. Подставим значение стороны a:
S = (√3 / 4) * (6)² = (√3 / 4) * 36 = 9√3 см².
3. Теперь найдем высоту h пирамиды. Высота h может быть найдена через боковое ребро и угол α:
h = l * sin(α),
где l — длина бокового ребра.
4. Также можем выразить h через половину стороны основания и угол α, используя теорему Пифагора в треугольнике:
h = (a/2) * tan(α).
5. Найдем величину h, используя треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и боковым ребром. Половина стороны основания:
(a/2) = 6/2 = 3 см.
6. Теперь воспользуемся соотношением:
tan(45°) = h / (3).
7. Зная, что tan(45°) = 1, получаем:
1 = h / 3.
8. Умножим обе стороны на 3:
h = 3 см.
9. Теперь найдем объем V пирамиды:
V = (1/3) * S * h.
10. Подставим значения:
V = (1/3) * (9√3) * 3 = 9√3 см³.
Ответ:
Объем пирамиды равен 9√3 см³.