Дано:
1. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды (h).
2. Угол между боковым ребром и стороной основания (α).
Найти:
Объем правильной четырёхугольной пирамиды (V).
Решение:
1. Высота пирамиды h' может быть найдена через боковое ребро h и угол α:
h' = h * cos(α).
2. Длина стороны основания (a) связана с боковым ребром и углом α. Для этого используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной стороны основания и боковым ребром:
h² = h'² + (a/2)².
3. Подставим h':
h² = (h * cos(α))² + (a/2)².
4. Раскроем скобки:
h² = h² * cos²(α) + (a² / 4).
5. Переносим h² * cos²(α) на левую сторону:
h² - h² * cos²(α) = (a² / 4).
6. Выразим a²:
a² = 4(h² - h² * cos²(α)) = 4h²(1 - cos²(α)) = 4h² * sin²(α).
7. Площадь основания S правильной четырёхугольной пирамиды:
S = a² = 4h² * sin²(α).
8. Теперь подставим S в формулу для объема V:
V = (1/3) * S * h' = (1/3) * (4h² * sin²(α)) * (h * cos(α)).
9. Упростим:
V = (4/3) * h³ * sin²(α) * cos(α).
Ответ:
Объем правильной четырёхугольной пирамиды равен (4/3) * h³ * sin²(α) * cos(α).