Дано:
1. Параллельные стороны трапеции: a1 = 4 см, a2 = 10 см.
2. Двугранные углы при рёбрах основания (в) = 45°.
3. Объем пирамиды (V) = 280/3 см³.
Найти:
Высоту пирамиды (h).
Решение:
1. Сначала найдем площадь основания S трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
S = (a1 + a2) * h_tr / 2,
где h_tr — высота трапеции. Однако высота трапеции нам пока не известна.
2. Объем пирамиды можно выразить через площадь основания и высоту:
V = (1/3) * S * h.
3. Подставим выражение для объема:
280/3 = (1/3) * S * h.
4. Умножим обе стороны на 3:
280 = S * h.
5. Теперь выразим h:
h = 280 / S.
6. Теперь найдем S. Для этого сначала найдем высоту трапеции h_tr. Используем двугранный угол:
tan(в) = h / (a2 - a1) / 2.
Так как в = 45°, то:
tan(45°) = 1, значит:
h = (a2 - a1) / 2.
Подставим значения:
h = (10 - 4) / 2 = 6 / 2 = 3 см.
7. Теперь подставим h_tr в формулу для площади основания S:
S = (a1 + a2) * h_tr / 2.
Но h_tr у нас тоже неизвестно. Мы уже нашли h, так что можем выразить h_tr через h:
h_tr = h * tan(в) = h.
Следовательно:
S = (4 + 10) * h / 2 = 14 * h / 2 = 7h.
8. Теперь подставим S в формулу для h:
h = 280 / (7h).
Умножим обе стороны на 7h:
7h² = 280.
h² = 40.
h = √40 = 2√10 см.
Ответ:
Высота пирамиды равна 2√10 см.