Дано:
- Высота конуса h = 4 см,
- Угол между образующей и плоскостью основания φ = 30°.
Найти: объём конуса.
Решение:
1. В первую очередь, необходимо найти радиус основания конуса. Для этого используем тангенс угла между образующей и плоскостью основания. В треугольнике, образованном радиусом основания, высотой и образующей конуса, тангенс угла φ равен отношению радиуса основания r к высоте h:
tan(φ) = r / h.
Из этого уравнения можно выразить радиус основания r:
r = h * tan(φ).
Подставляем известные значения h = 4 см и φ = 30°:
r = 4 * tan(30°)
r = 4 * (1 / √3)
r = 4 / √3
r ≈ 2,309 см.
2. Теперь можем найти объём конуса, используя формулу для объёма:
V = (1/3) * π * r² * h.
Подставляем значения r ≈ 2,309 см и h = 4 см:
V = (1/3) * π * (2,309)² * 4
V ≈ (1/3) * π * 5,337 * 4
V ≈ (1/3) * π * 21,348
V ≈ 22,383 см³.
Ответ: объём конуса ≈ 22,383 см³.