Дано:
- Радиус основания конуса r = 9 см.
- Угол между образующей и плоскостью основания α = 30°.
Найти:
1) площадь боковой поверхности конуса S_б.
2) площадь осевого сечения конуса S_ос.
Решение:
1) Для нахождения площади боковой поверхности конуса используем формулу:
S_б = π * r * l,
где l — образующая конуса.
2) Чтобы найти l, используем отношение в прямоугольном треугольнике:
tan(α) = h / r, где h — высота конуса.
3) Из этого уравнения находим высоту h:
h = r * tan(α).
4) Подставим значение радиуса и угол:
h = 9 * tan(30°) = 9 * (1/sqrt(3)) = 9/sqrt(3) ≈ 5.2 см.
5) Теперь нам нужно найти образующую l. В прямоугольном треугольнике:
cos(α) = r / l, откуда:
l = r / cos(α).
6) Подставим значения:
l = 9 / cos(30°) = 9 / (sqrt(3)/2) = 9 * (2/sqrt(3)) = 18/sqrt(3) ≈ 10.39 см.
7) Теперь подставим найденные значения в формулу для площади боковой поверхности:
S_б = π * r * l = π * 9 * (18/sqrt(3)).
Вычисляем:
S_б = 162π/sqrt(3) ≈ 169.71 см² (принимая π ≈ 3.14).
8) Для площади осевого сечения S_ос используем формулу:
S_ос = (1/2) * a * h, где a — основание равнобедренного треугольника, а h — высота.
9) В нашем случае основание a равно 2 * r = 2 * 9 = 18 см. Площадь осевого сечения:
S_ос = (1/2) * 18 * h = (1/2) * 18 * (9/sqrt(3)) = 81/sqrt(3) ≈ 46.19 см².
Ответ:
1) Площадь боковой поверхности конуса приблизительно равна 169.71 см².
2) Площадь осевого сечения конуса приблизительно равна 46.19 см².