Дано:
- Ребро куба равно а.
Найти: объём шара, описанного около куба.
Решение:
1. Шар, описанный около куба, касается всех граней куба. Центр шара совпадает с центром куба, а радиус шара равен расстоянию от центра куба до его грани.
2. Для куба с ребром а расстояние от центра куба до его грани равно половине диагонали грани куба.
3. Диагональ грани куба (d) можно найти по теореме Пифагора для квадрата:
d = √(а² + а²) = √2 * а.
4. Радиус шара (R) равен половине диагонали грани:
R = d / 2 = (√2 * а) / 2 = (а * √2) / 2.
5. Объём шара можно найти по формуле:
V = (4/3) * π * R³.
6. Подставим значение радиуса R:
V = (4/3) * π * ((а * √2) / 2)³.
7. Упростим выражение:
V = (4/3) * π * (а³ * (√2)³) / 8.
8. Так как (√2)³ = 2√2, то получаем:
V = (4/3) * π * (а³ * 2√2) / 8.
9. Упростим:
V = (4 * π * а³ * 2√2) / (3 * 8) = (π * а³ * √2) / 3.
Ответ: объём шара, описанного около куба, равен (π * а³ * √2) / 3.