Дано:
- Радиус шара r = V см
- Угол между образующей конуса и плоскостью основания α (в градусах)
Найти:
- Объём конуса V.
Решение:
1. В конус вписан шар, и угол α позволяет нам выразить радиус основания и высоту конуса через радиус шара.
2. Радиус основания конуса R можно найти по формуле:
R = r * (1 / sin(α)).
3. Высоту конуса h можно найти по формуле:
h = r * (cotan(α)),
где cotan(α) = cos(α) / sin(α).
4. Следовательно, подставив выражения для R и h в формулу для объёма конуса, получаем:
V = (1/3) * π * R^2 * h.
5. Подставляем R и h:
V = (1/3) * π * (r * (1 / sin(α)))^2 * (r * (cotan(α))).
Приведем всё к одному виду:
V = (1/3) * π * (V * (1 / sin(α)))^2 * (V * (cos(α) / sin(α))),
V = (1/3) * π * V^3 * (1 / sin(α))^2 * (cos(α) / sin(α)).
Это упрощается до:
V = (1/3) * π * V^3 * (cos(α) / sin^3(α)).
Ответ:
Объём конуса V = (1/3) * π * V^3 * (cos(α) / sin^3(α)) см³.