Дано:
- Радиус основания большего основания усечённого конуса R
- Радиус меньшего основания усечённого конуса r
- Высота усечённого конуса h
Найти:
- Отношение объёма усечённого конуса к объёму конуса, частью которого он является.
Решение:
1. Формула для объёма усечённого конуса:
V_truncated_cone = (1/3) * π * h * (R² + R*r + r²).
2. Формула для объёма конуса, частью которого является усечённый конус:
Для этого сначала найдем высоту H полного конуса, из которого получен усечённый конус. Полный конус имеет радиус R и высоту H, где H = h + h_где h – высота меньшей части, которая была срезана.
Объём полного конуса:
V_cone = (1/3) * π * R² * H.
3. Найдём высоту меньшей части h_где, используя пропорции:
h_где / h = (R - r) / R,
h_где = h * (R - r) / R.
4. Теперь можно найти полную высоту H:
H = h + h_где,
H = h + h * (R - r) / R,
H = h * (1 + (R - r) / R),
H = h * (R + R - r) / R,
H = h * (2R - r) / R.
5. Подставим выражение для H в формулу объёма полного конуса:
V_cone = (1/3) * π * R² * (h * (2R - r) / R),
V_cone = (1/3) * π * R * h * (2R - r).
6. Теперь найдем отношение объёмов:
Отношение = V_truncated_cone / V_cone,
Отношение = [(1/3) * π * h * (R² + R*r + r²)] / [(1/3) * π * R * h * (2R - r)].
7. Упрощаем:
Отношение = (R² + R*r + r²) / (R * (2R - r)).
Ответ:
Отношение объёма усечённого конуса к объёму конуса, частью которого он является, равно (R² + R*r + r²) / (R * (2R - r)).