Дано:
- Радиус меньшего основания r (радиус большего основания R = 4r)
- Высота усечённого конуса h = 8 см
- Диагональ осевого сечения l = 17 см
Найти:
- Объём усечённого конуса.
Решение:
1. Найдем радиусы оснований. Поскольку R = 4r, мы можем выразить радиусы через r:
R = 4r.
2. Используем теорему Пифагора для нахождения радиуса меньшего основания r. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, разностью радиусов и диагональю, у нас есть:
l² = h² + (R - r)².
3. Подставив известные значения h и выражения для R,
17² = 8² + (4r - r)²,
289 = 64 + (3r)².
4. Упрощаем уравнение:
289 - 64 = 9r²,
225 = 9r²,
r² = 25,
r = 5 см.
5. Теперь находим R:
R = 4r = 4 * 5 = 20 см.
6. Рассчитаем объём усечённого конуса по формуле:
V_truncated_cone = (1/3) * π * h * (R² + R*r + r²).
7. Подставляем значения:
V_truncated_cone = (1/3) * π * 8 * (20² + 20*5 + 5²),
V_truncated_cone = (1/3) * π * 8 * (400 + 100 + 25),
V_truncated_cone = (1/3) * π * 8 * 525.
8. Упрощаем:
V_truncated_cone = (4200/3) * π,
V_truncated_cone = 1400 * π см³.
Ответ:
Объём усечённого конуса составляет 1400π см³ или примерно 4398.2 см³.