Дано:
- Длина меньшей параллельной стороны трапеции a = 2 см
- Длина большей параллельной стороны b = 8 см
- Диагональ призмы D = 3√10 см
Найти:
- Объём цилиндра, вписанного в данную призму.
Решение:
1. Найдём высоту h равнобокой трапеции. Для этого воспользуемся свойством диагоналей трапеции. В равнобокой трапеции диагонали равны и можно использовать следующие формулы:
c² = (D/2)² - ((b - a)/2)²,
где c — длина боковой стороны трапеции.
Подставим известные значения:
c² = (3√10 / 2)² - ((8 - 2)/2)²,
c² = (9 * 10 / 4) - (6/2)²,
c² = 22.5 - 9,
c² = 13.5.
Таким образом, c = √13.5 = 3√1.5 см.
2. Теперь найдем высоту h с помощью теоремы Пифагора в треугольнике, образованном высотой, половиной разности оснований и боковой стороной:
c² = h² + ((b-a)/2)²,
(3√1.5)² = h² + (8 - 2)/2)²,
13.5 = h² + 3²,
13.5 = h² + 9,
h² = 13.5 - 9,
h² = 4.5,
h = √4.5 = 3/√2 см.
3. Площадь основания S равнобокой трапеции можно вычислить по формуле:
S = ((a + b) * h) / 2,
S = ((2 + 8) * (3/√2)) / 2,
S = (10 * 3) / (2√2),
S = 15/√2 см².
4. Объём призмы V равен произведению площади основания на высоту призмы H (высота призмы равна высоте трапеции):
V = S * H,
V = (15/√2) * H.
5. Объём цилиндра, вписанного в призму, определяется как:
V_ц = S_ц * h_ц,
где S_ц — площадь основания цилиндра, а h_ц — высота цилиндра, равная высоте призмы.
6. Радиус r вписанного цилиндра равен радиусу вписанной окружности равнобокой трапеции. Формула для радиуса вписанной окружности R равнобокой трапеции:
R = (h*(a+b)) / (2*(b-a)).
7. Подставив значение h и оснований, получаем:
R = (3/√2 * (2 + 8)) / (2 * (8 - 2)),
R = (30/√2) / 12,
R = 5/2√2 см.
8. Площадь основания цилиндра S_ц:
S_ц = π * r²,
S_ц = π * (5/(2√2))²,
S_ц = π * (25/8) см².
9. Таким образом, объём цилиндра:
V_ц = S_ц * H = (25π/8) * (3/√2),
V_ц = (75π) / (8√2) см³.
Ответ:
Объём цилиндра, вписанного в данную призму, составляет (75π) / (8√2) см³.