Дано:
- Куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра a.
- Точки O1 и O2 — центры граней A1B1C1D1 и CC1D1D соответственно.
Найти: угол между прямыми BO1 и O2.
Решение:
1. Разместим куб в декартовой системе координат. Пусть:
- A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), A1(0, 0, a), B1(a, 0, a), C1(a, a, a), D1(0, a, a).
2. Найдем координаты точек O1 и O2:
- Точка O1 — центр грани A1B1C1D1. Ее координаты будут средними координатами вершин этой грани:
O1 = ((0 + a + a + 0) / 4, (0 + 0 + a + a) / 4, (a + a + a + a) / 4) = (a, a / 2, a).
- Точка O2 — центр грани CC1D1D. Ее координаты:
O2 = ((a + a + 0 + 0) / 4, (a + a + a + a) / 4, (0 + a + a + 0) / 4) = (a / 2, a, a / 2).
3. Теперь найдем векторы BO1 и O2.
- Вектор BO1 = O1 - B = (a, a / 2, a) - (a, 0, 0) = (0, a / 2, a).
- Вектор O2 = O2 - O1 = (a / 2, a, a / 2) - (a, a / 2, a) = (-a / 2, a / 2, -a / 2).
4. Теперь найдем угол между этими двумя векторами. Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:
cos(θ) = (v1 • v2) / (|v1| * |v2|),
где v1 = (0, a / 2, a), v2 = (-a / 2, a / 2, -a / 2).
5. Сначала вычислим скалярное произведение v1 • v2:
v1 • v2 = 0 * (-a / 2) + (a / 2) * (a / 2) + a * (-a / 2)
= 0 + a² / 4 - a² / 2
= -a² / 4.
6. Найдем длины векторов v1 и v2:
- |v1| = √(0² + (a / 2)² + a²) = √(a² / 4 + a²) = √(5a² / 4) = a√5 / 2.
- |v2| = √((-a / 2)² + (a / 2)² + (-a / 2)²) = √(a² / 4 + a² / 4 + a² / 4) = √(3a² / 4) = a√3 / 2.
7. Подставим все значения в формулу для косинуса угла:
cos(θ) = (-a² / 4) / ((a√5 / 2) * (a√3 / 2))
= (-a² / 4) / (a²√15 / 4)
= -1 / √15.
8. Следовательно, угол θ будет равен:
θ = arccos(-1 / √15).
Ответ: угол между прямыми BO1 и O2 равен arccos(-1 / √15).