Дано:
- расстояние от оси цилиндра до сечения d = 3 см,
- диагональ сечения L = 16 см,
- угол между диагональю сечения и плоскостью основания α = 60°.
Найти радиус основания цилиндра r.
Решение:
1. Представим цилиндр в разрезе. Сечение, параллельное оси цилиндра, будет представлять собой прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника образует угол 60° с плоскостью основания цилиндра.
2. Рассмотрим этот прямоугольник, у которого:
- одна из сторон равна высоте цилиндра h,
- другая сторона — это расстояние между осью цилиндра и сечением, которое равно d = 3 см.
3. Диагональ сечения (L) образует угол α = 60° с плоскостью основания, следовательно, диагональ можно представить через гипотенузу прямоугольного треугольника, где:
- одна из сторон будет высотой цилиндра h,
- другая сторона — расстояние от оси до сечения d.
4. В этом треугольнике:
L = √(h² + d²).
Но так как угол α = 60°, то в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора:
L² = h² + d².
5. Подставим известные значения:
16² = h² + 3²,
256 = h² + 9,
h² = 256 - 9,
h² = 247,
h = √247 ≈ 15.7 см.
6. Теперь, используя найденную высоту h, можно вычислить радиус основания цилиндра. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза будет диагональю сечения, а один из катетов — это радиус основания цилиндра. В этом треугольнике угол между гипотенузой и одним из катетов (радиусом) равен 60°.
Из тригонометрии:
cos(60°) = r / L.
cos(60°) = 1/2, следовательно:
1/2 = r / 16,
r = 16 / 2 = 8 см.
Ответ: радиус основания цилиндра равен 8 см.