Дано:
- Наибольший угол между двумя образующими конуса равен 120°.
- Угол между двумя образующими, через которые проведена плоскость, равен 90°.
- Хорда, пересекающая основание конуса, имеет длину 6 см.
Найти:
Площадь боковой поверхности конуса (S_b).
Решение:
1. Обозначим радиус основания конуса как r. Так как угол между образующими равен 90°, это образует прямоугольный треугольник в сечении конуса.
2. Плоскость пересекает основание по хорде длиной 6 см. Эта хорда образует равнобедренный треугольник с углом 90°. Длина хорды может быть связана с радиусом r и углом θ следующим образом:
h = r * sin(θ), где h — высота от центра основания до хорды.
3. Но так как угол между образующими 90°, полагаем, что h будет половиной длины хорды:
h = 6 / 2 = 3 см.
4. Таким образом:
r * sin(90°) = 3 → r = 3 см.
5. Теперь найдем образующую l конуса. Для этого используем наибольший угол между образующими, равный 120°:
cos(120°) = -1/2,
Используя формулу для высоты h и радиуса r:
h = r * tan(60°) (поскольку угол между образующими 120° делится на два угла по 60°).
tan(60°) = √3.
h = 3 * √3 см.
6. Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле:
S_b = π * r * l.
7. Из соотношений знаем, что l можно найти через r и h:
l = √(r² + h²)
= √(3² + (3√3)²)
= √(9 + 27)
= √36
= 6 см.
8. Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:
S_b = π * 3 * 6
= 18π см².
Ответ:
Площадь боковой поверхности конуса равна 18π см².