Дано:
- Стороны основания треугольной пирамиды a = 19 см, b = 20 см, c = 37 см.
- Двугранные углы при рёбрах основания равны 45°.
Найти:
Площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.
Решение:
1. Сначала найдем площадь основания треугольной пирамиды. Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника:
s = (a + b + c) / 2
s = (19 + 20 + 37) / 2
s = 76 / 2
s = 38 см
Площадь S_основания = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
Подставим значения:
S_основания = √(38 * (38 - 19) * (38 - 20) * (38 - 37))
S_основания = √(38 * 19 * 18 * 1)
S_основания = √(6846)
Вычислим:
S_основания ≈ 82.7 см²
2. Теперь найдем высоту пирамиды. Поскольку углы при рёбрах основания равны 45°, мы можем использовать следующие соотношения:
h = S_основания / (A / 2), где A - длина стороны, перпендикулярной к высоте.
Для любой стороны основания (например, c = 37 см):
h = 2 * S_основания / c
h = 2 * 82.7 / 37
h ≈ 4.47 см
3. Найдем радиус основания конуса, вписанного в пирамиду. Это будет радиус вписанной окружности треугольника. Формула для радиуса r вписанной окружности:
r = S_основания / s
r = 82.7 / 38
r ≈ 2.17 см
4. Теперь найдем наклонную высоту l бокового ребра конуса. Так как двугранные углы равны 45°, наклонная высота будет равна:
l = h / cos(45°)
l = 4.47 / (√2/2)
l = 4.47 * √2
l ≈ 6.32 см
5. Площадь осевого сечения конуса определяем по формуле:
S = π * r² * (h + l)
Сначала найдем S:
S = π * (2.17)² * (4.47 + 6.32)
S ≈ π * 4.71 * 10.79
S ≈ 50.81π ≈ 159.83 см²
Ответ:
Площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду, равна примерно 159.83 см².