дано:
- Правильная треугольная призма с длиной ребра основания a и высотой h.
найти:
Отношение радиуса шара, вписанного в правильную треугольную призму r, к радиусу шара, описанного около этой призмы R.
решение:
1. Найдем радиус шара, вписанного в правильную треугольную призму. Радиус вписанного шара r для правильной треугольной призмы можно выразить через площадь основания и периметр:
r = A / P,
где A - площадь основания, P - периметр основания.
2. Площадь основания правильного треугольника A:
A = (√3 / 4) * a².
3. Периметр основания P:
P = 3a.
4. Подставим A и P в формулу для радиуса вписанного шара:
r = ((√3 / 4) * a²) / (3a) = (√3 / 12) * a.
5. Теперь найдем радиус описанного шара R. Радиус описанного шара для правильной треугольной призмы можно найти по формуле:
R = (a / √3) + (h / 2).
6. Теперь составим отношение радиусов:
Отношение r к R:
r / R = [(√3 / 12) * a] / [(a / √3) + (h / 2)].
7. Упростим это выражение:
r / R = (√3 / 12) * a / [ (a / √3) + (h / 2) ].
8. Приведем дробь к общему знаменателю и упростим:
r / R = (√3 / 12) * a / [(2a + h√3) / (2√3)].
r / R = (√3 / 12) * a * (2√3) / (2a + h√3).
r / R = (√3 * a) / (12(2a + h√3)).
ответ:
Отношение радиуса шара, вписанного в правильную треугольную призму, к радиусу шара, описанного около этой призмы равно (√3 * a) / (12(2a + h√3)).