дано:
- Радиус шара R.
найти:
Площадь поверхности правильного тетраэдра S, описанного около шара.
решение:
1. Для правильного тетраэдра, описанного вокруг шара, радиус описанного шара R связан с длиной ребра t тетраэдра. Радиус шара, вписанного в тетраэдр (r), связан с длиной ребра следующим образом:
r = t * √6 / 12.
2. Однако, также известно, что радиус описанного шара R и длина ребра t связаны следующим образом:
R = t * √6 / 4.
3. Теперь выразим t через R:
t = 4R / √6.
4. Площадь поверхности правильного тетраэдра S вычисляется по формуле:
S = √3 * t².
5. Подставим значение t в формулу для площади:
S = √3 * (4R / √6)²
S = √3 * (16R² / 6)
S = (16√3 / 6) * R²
S = (8√3 / 3) * R².
ответ:
Площадь поверхности правильного тетраэдра S, описанного около шара, равна (8√3 / 3) * R².