Дано:
- Скорость первого грузовика v1 = 60 км/ч = 16.67 м/с
- Скорость второго грузовика v2 = 100 км/ч = 27.78 м/с
- Начальное расстояние между ними по осям x и y:
x0 = 10 км = 10 000 м,
y0 = 20 км = 20 000 м
- Требуемое расстояние между грузовиками: 55 км = 55 000 м
Найти:
Время t, через которое расстояние между грузовиками станет 55 км.
Решение:
1. Пусть через время t грузы будут двигаться по прямой, так как они едут по взаимно перпендикулярным дорогам. Тогда расстояние между ними через время t можно выразить через теорему Пифагора:
r(t) = √[(x0 + v1 * t)² + (y0 + v2 * t)²]
Требуется найти t, при котором r(t) = 55 000 м:
55 000 = √[(10 000 + 16.67 * t)² + (20 000 + 27.78 * t)²]
2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
(55 000)² = (10 000 + 16.67 * t)² + (20 000 + 27.78 * t)²
3 025 000 000 = (10 000 + 16.67 * t)² + (20 000 + 27.78 * t)²
3. Раскроем квадратные выражения:
(10 000 + 16.67 * t)² = 100 000 000 + 333 400 * t + 277.89 * t²
(20 000 + 27.78 * t)² = 400 000 000 + 555 600 * t + 772.16 * t²
4. Подставим эти выражения в уравнение:
3 025 000 000 = 100 000 000 + 333 400 * t + 277.89 * t² + 400 000 000 + 555 600 * t + 772.16 * t²
Упростим:
3 025 000 000 = 500 000 000 + 889 000 * t + 1050.05 * t²
2 525 000 000 = 889 000 * t + 1050.05 * t²
5. Это квадратное уравнение:
1050.05 * t² + 889 000 * t - 2 525 000 000 = 0
6. Решим его с помощью формулы дискриминанта:
D = (889 000)² - 4 * 1050.05 * (-2 525 000 000)
D = 790 721 000 000 - (-10 650 000 000 000)
D = 11 440 721 000 000
t = (-889 000 ± √(11 440 721 000 000)) / (2 * 1050.05)
7. Извлекаем квадратный корень:
√11 440 721 000 000 ≈ 3 384 928.7
8. Подставляем в формулу для t:
t = (-889 000 ± 3 384 928.7) / 2100.1
t1 ≈ (3 384 928.7 - 889 000) / 2100.1 ≈ 1 191 238.7 / 2100.1 ≈ 567.3 с
t2 ≈ (-3 384 928.7 - 889 000) / 2100.1 ≈ -4 273 928.7 / 2100.1 ≈ -2035 с (отрицательное значение — это не имеет физического смысла)
Ответ:
Время, через которое расстояние между грузовиками станет 55 км, составляет примерно 567 секунд или 9.45 минут.