Дано:
- длина стержня L = 0,5 м
- масса пули m = 10 г = 0,01 кг
- скорость пули при вылете v = 20 м/с
- масса пистолета М = 200 г = 0,2 кг
Найти: косинус угла, на который отклонится стержень после выстрела.
Решение:
1. Сначала определим, что происходит в момент выстрела. После выстрела пуля вылетает из пистолета с начальной скоростью v, и в результате этого происходит импульсная сила, которая вызывает отклонение стержня.
2. Используем закон сохранения импульса. Суммарный импульс системы до и после выстрела должен быть равен, так как внешних сил нет.
До выстрела система покоится, и её импульс равен нулю. После выстрела импульс системы будет равен:
m · v + М · V_пистолет = 0,
где V_пистолет — скорость пистолета после выстрела.
Из уравнения сохранения импульса получаем:
М · V_пистолет = - m · v,
V_пистолет = - (m · v) / М.
Подставим значения:
V_пистолет = - (0,01 · 20) / 0,2 = - 1 м/с.
3. Теперь находим кинетическую энергию пистолета после выстрела:
E_пистолет = (1/2) · М · V_пистолет² = (1/2) · 0,2 · (1)² = 0,1 Дж.
4. Пистолет отклоняется на угол, и его кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию, которая соответствует отклонению стержня. Потенциальная энергия стержня при отклонении на угол θ равна:
E_пот = (1/2) · M · g · L · (1 - cos(θ)),
где g — ускорение свободного падения, L — длина стержня.
Приравняем кинетическую и потенциальную энергии:
(1/2) · М · V_пистолет² = (1/2) · М · g · L · (1 - cos(θ)).
Подставляем известные значения:
0,1 = 0,2 · 9,8 · 0,5 · (1 - cos(θ)).
Упростим:
0,1 = 0,98 · (1 - cos(θ)),
1 - cos(θ) = 0,1 / 0,98 ≈ 0,102.
cos(θ) ≈ 1 - 0,102 = 0,898.
Ответ: косинус угла отклонения стержня cos(θ) ≈ 0,898.