дано:
t1 - момент времени, когда тело находится на заданной высоте t2 - момент времени, когда тело находится на той же высоте вектор скорости повернулся на 90° за время t2-t1
найти:
угол α, под которым было брошено тело
решение:
Уравнение движения тела по вертикали:
y = v₀y*t - (gt²)/2
где:
y - высота v₀y - вертикальная составляющая начальной скорости g - ускорение свободного падения t - время
В моменты t1 и t2 высота одинакова, поэтому:
v₀yt1 - (gt1²)/2 = v₀yt2 - (gt2²)/2
v₀y(t2 - t1) = g(t2² - t1²)/2 = g(t2 - t1)(t2 + t1)/2
v₀y = g(t1 + t2)/2
Горизонтальная составляющая скорости постоянна: v₀x = v₀cosα
Вертикальная составляющая скорости в момент времени t:
vy = v₀y - gt
Изменение вертикальной составляющей скорости за время t2 - t1:
Δvy = vy(t2) - vy(t1) = (v₀y - gt2) - (v₀y - gt1) = g(t1 - t2)
По условию задачи, вектор скорости повернулся на 90 градусов. Это означает, что модули горизонтальной и вертикальной составляющих скорости в момент t2 равны:
v₀x = |Δvy|
v₀cosα = g(t2 - t1)
v₀y = g(t1 + t2)/2 = v₀sinα
Тогда:
tgα = v₀y / v₀x = [g(t1 + t2)/2] / [g(t2 - t1)] = (t1 + t2) / [2(t2 - t1)]
Так как за время t2-t1 вектор скорости повернулся на 90 градусов, то время подъема до максимальной высоты равно (t2-t1)/2.
Время подъема до максимальной высоты также равно v₀y/g.
Следовательно, v₀y/g = (t2-t1)/2
v₀y = g(t2-t1)/2
Подставим в уравнение для tgα:
tgα = [g(t1 + t2)/2] / [g(t2 - t1)] = (t1+t2)/(2(t2-t1))
Если предположить, что t1 и t2 - это моменты времени, когда тело находится на одинаковой высоте до и после прохождения максимальной высоты, то t2 - t1 - время полета от одной высоты до другой, а (t2-t1)/2 - время подъема до максимальной точки. Тогда:
v₀y = g(t2 - t1)/2
И v₀x = v₀y
Следовательно, tgα = 1, и α = 45°
Ответ:
угол α = 45°