Брошенное в момент t = 0 под углом к горизонту тело оказалось на одной высоте в моменты t1 и t2, и за время t2 - t1 вектор скорости тела повернулся на 90°. Под каким углом к горизонту было брошено тело?
от

1 Ответ

дано:
t1 - момент времени, когда тело находится на заданной высоте t2 - момент времени, когда тело находится на той же высоте вектор скорости повернулся на 90° за время t2-t1

найти:
угол α, под которым было брошено тело

решение:

Уравнение движения тела по вертикали:

y = v₀y*t - (gt²)/2

где:

y - высота v₀y - вертикальная составляющая начальной скорости g - ускорение свободного падения t - время

В моменты t1 и t2 высота одинакова, поэтому:

v₀yt1 - (gt1²)/2 = v₀yt2 - (gt2²)/2

v₀y(t2 - t1) = g(t2² - t1²)/2 = g(t2 - t1)(t2 + t1)/2

v₀y = g(t1 + t2)/2

Горизонтальная составляющая скорости постоянна: v₀x = v₀cosα

Вертикальная составляющая скорости в момент времени t:

vy = v₀y - gt

Изменение вертикальной составляющей скорости за время t2 - t1:

Δvy = vy(t2) - vy(t1) = (v₀y - gt2) - (v₀y - gt1) = g(t1 - t2)

По условию задачи, вектор скорости повернулся на 90 градусов. Это означает, что модули горизонтальной и вертикальной составляющих скорости в момент t2 равны:

v₀x = |Δvy|

v₀cosα = g(t2 - t1)

v₀y = g(t1 + t2)/2 = v₀sinα

Тогда:

tgα = v₀y / v₀x = [g(t1 + t2)/2] / [g(t2 - t1)] = (t1 + t2) / [2(t2 - t1)]

Так как за время t2-t1 вектор скорости повернулся на 90 градусов, то время подъема до максимальной высоты равно (t2-t1)/2.

Время подъема до максимальной высоты также равно v₀y/g.

Следовательно, v₀y/g = (t2-t1)/2

v₀y = g(t2-t1)/2

Подставим в уравнение для tgα:

tgα = [g(t1 + t2)/2] / [g(t2 - t1)] = (t1+t2)/(2(t2-t1))

Если предположить, что t1 и t2 - это моменты времени, когда тело находится на одинаковой высоте до и после прохождения максимальной высоты, то t2 - t1 - время полета от одной высоты до другой, а (t2-t1)/2 - время подъема до максимальной точки. Тогда:

v₀y = g(t2 - t1)/2

И v₀x = v₀y

Следовательно, tgα = 1, и α = 45°

Ответ:
угол α = 45°
от