Дано:
- индуктивность катушки (L) = 50 мкГн = 50 * 10^-6 Гн
- максимальная сила тока (Imax) = 40 мА = 40 * 10^-3 А
- максимальное напряжение на конденсаторе (Umax) = 200 В
Найти:
- ёмкость конденсатора (C) в пФ.
Решение:
1. Используем формулу для вычисления максимального значения энергии в колебательном контуре, где энергия сохраняется между индуктивностью и ёмкостью:
Umax = Imax^2 * R / (2L)
Но в данном случае R не задано, поэтому воспользуемся другой формулой:
Imax = ω * Qmax / L и Umax = ω * Qmax * C, где Qmax - максимальный заряд на конденсаторе.
2. Для нахождения угловой частоты (ω) используем связь между Imax и Umax:
Imax = Umax / Z, где Z — полное сопротивление.
3. Угловая частота может быть также выражена как:
ω = 1 / √(LC).
Из уравнения Imax = ω * Qmax / L можно выразить Qmax:
Qmax = Imax * L / ω.
4. Объединим уравнения для максимального тока и напряжения:
Umax = Qmax / C.
5. Подставим Qmax из предыдущего шага:
Umax = (Imax * L / ω) / C.
Теперь найдем C:
C = (Imax * L) / (ω * Umax).
6. Теперь подставим ω, используя его определение:
ω = 1 / √(LC).
7. Эта система может быть упрощена, принимая во внимание максимальные значения тока и напряжения:
C = Imax / (Umax * f), где f – частота, которую мы можем выразить через L и C.
8. Вместо этого мы можем использовать отношение максимальных значений:
C = Qmax / Umax = Imax * T / Umax,
где T = 1/f, и будет находиться через L и C. Поскольку полного анализа не требуется, можно воспользоваться начальным соотношением:
C = L * Imax^2 / Umax^2.
9. Подставляем значения:
C = (50 * 10^-6) * (40 * 10^-3)^2 / (200)^2.
Теперь считаем:
C = (50 * 10^-6) * (1600 * 10^-6) / 40000
C = (80 * 10^-9) / 40000
C = 2 * 10^-12 Ф.
10. Переведем ёмкость в пФ:
C = 2 * 10^-12 Ф * 10^12 пФ/Ф = 2 пФ.
Ответ:
Ёмкость конденсатора составляет 2 пФ.