дано:
радиус цилиндрического сосуда R (в метрах)
высота столба жидкости h (в метрах)
плотность жидкости ρ (в кг/м³)
ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
найти:
высоту h, при которой силы давления на дно и стенки сосуда равны.
решение:
1. Давление на дно сосуда определяется формулой:
P_дно = ρ * g * h.
2. Сила давления на дно сосуда F_дно равна произведению давления на площадь основания:
F_дно = P_дно * S, где S = π * R² - площадь основания.
Подставляем:
F_дно = (ρ * g * h) * (π * R²).
3. Давление на стенки сосуда в высоте h зависит от высоты столба жидкости и создаёт силу давления F_стенки, которая действует по окружности:
F_стенки = P_стенки * A, где A - площадь боковой поверхности, равная 2 * π * R * h.
При этом давление на стенках в зависимости от глубины будет равным P_стенки = ρ * g * h.
4. Таким образом, сила давления на стенки будет:
F_стенки = (ρ * g * h) * (2 * π * R * h).
5. Условие равенства сил давления:
F_дно = F_стенки.
Подставим найденные выражения:
(ρ * g * h) * (π * R²) = (ρ * g * h) * (2 * π * R * h).
6. Сократим на ρ, g и π (при условии, что h не равно 0):
R² = 2 * R * h.
7. Делим обе стороны на R (при условии, что R не равно 0):
R = 2h.
8. Теперь выразим h:
h = R / 2.
ответ:
Высота жидкости в цилиндрическом сосуде должна составлять R / 2, чтобы силы давления на дно и стенки сосуда были одинаковы.