Question

Для изготовления ювелирного сплава взяли серебро плотностью 10,5 г/см3, золота плотностью 19,5 г/см3 и платину плотностью 21,5 г/см3. В сплаве отношение объёма серебра и платины равно 6, объём использованного золота равный 1,5 см3, а средняя плотность сплава 14,3г/см3. Найти массу платины и массу серебра в сплаве. Считайте, что объем сплава равный сумме объемов его составляющих частей.

Answer 1

дано:
- плотность серебра ρ_Ag = 10.5 г/см³
- плотность золота ρ_Au = 19.5 г/см³
- плотность платины ρ_Pt = 21.5 г/см³
- отношение объема серебра к объему платины V_Ag / V_Pt = 6
- объем золота V_Au = 1.5 см³
- средняя плотность сплава ρ_sp = 14.3 г/см³

найти:
- массу платины m_Pt
- массу серебра m_Ag

решение:
1. Обозначим объем платины как V_Pt, тогда объем серебра будет V_Ag = 6 * V_Pt.

2. Общий объем сплава V_total равен сумме объемов всех компонентов:
   V_total = V_Ag + V_Au + V_Pt
   V_total = 6 * V_Pt + 1.5 + V_Pt
   V_total = 7 * V_Pt + 1.5.

3. Теперь используем формулу для средней плотности сплава:
   ρ_sp = m_total / V_total,
где m_total — общая масса сплава.

4. Массу каждого компонента можно выразить через их объемы и плотности:
   m_Ag = V_Ag * ρ_Ag = (6 * V_Pt) * 10.5,
   m_Au = V_Au * ρ_Au = 1.5 * 19.5,
   m_Pt = V_Pt * ρ_Pt.

5. Подставим эти массы в уравнение для m_total:
   m_total = m_Ag + m_Au + m_Pt
   = (6 * V_Pt * 10.5) + (1.5 * 19.5) + (V_Pt * 21.5).

6. Найдем массу золота:
   m_Au = 1.5 * 19.5 = 29.25 г.

7. Теперь подставим все массы в уравнение для средней плотности:
   14.3 = [(6 * V_Pt * 10.5) + 29.25 + (V_Pt * 21.5)] / (7 * V_Pt + 1.5).

8. Умножим обе стороны на (7 * V_Pt + 1.5):
   14.3 * (7 * V_Pt + 1.5) = 6 * V_Pt * 10.5 + 29.25 + V_Pt * 21.5.

9. Раскроем скобки:
   100.1 * V_Pt + 21.45 = 63 * V_Pt + 29.25 + 21.5 * V_Pt.

10. Объединим подобные члены:
    100.1 * V_Pt + 21.45 = (63 + 21.5) * V_Pt + 29.25
    100.1 * V_Pt + 21.45 = 84.5 * V_Pt + 29.25.

11. Переносим все элементы с V_Pt в одну сторону:
    100.1 * V_Pt - 84.5 * V_Pt = 29.25 - 21.45
    15.6 * V_Pt = 7.8.

12. Находим объем платины:
    V_Pt = 7.8 / 15.6 ≈ 0.5 см³.

13. Теперь найдём объем серебра:
    V_Ag = 6 * V_Pt = 6 * 0.5 = 3 см³.

14. Далее вычислим массу платины:
    m_Pt = V_Pt * ρ_Pt = 0.5 см³ * 21.5 г/см³ = 10.75 г.

15. И массу серебра:
    m_Ag = V_Ag * ρ_Ag = 3 см³ * 10.5 г/см³ = 31.5 г.

ответ:
Масса платины составляет 10.75 г, масса серебра составляет 31.5 г.