дано:
- скорость выбрасываемых газов V_e = 1000 м/с.
- вторая космическая скорость V_2 ≈ 11,2 км/с = 11200 м/с.
- время сгорания топлива t = 60 с.
- расход топлива m_dot = 80 кг/с.
найти:
стартовую массу ракеты M_0.
решение:
1) Сначала найдем общее количество сгоревшего топлива за все время. Это можно найти по формуле:
m_fuel = m_dot * t.
Подставим известные значения:
m_fuel = 80 * 60 = 4800 кг.
2) Теперь применим уравнение ракетного движения (уравнение Тиссерана):
V_f = V_e * ln(M_0 / M_f),
где M_f – конечная масса ракеты после сгорания топлива:
M_f = M_0 - m_fuel.
3) Подставляем значение конечной скорости V_f:
11200 = 1000 * ln(M_0 / (M_0 - 4800)).
4) Перепишем уравнение:
ln(M_0 / (M_0 - 4800)) = 11200 / 1000 = 11.2.
5) Применим экспоненту к обеим сторонам:
M_0 / (M_0 - 4800) = e^(11.2).
6) Выразим M_0 через M_0 - 4800:
M_0 = e^(11.2) * (M_0 - 4800).
7) Раскроем скобки и соберем все M_0 на одной стороне уравнения:
M_0 - e^(11.2) * M_0 = -4800 * e^(11.2).
8) Вынесем M_0 за скобки:
M_0 * (1 - e^(11.2)) = -4800 * e^(11.2).
9) Теперь выразим M_0:
M_0 = -4800 * e^(11.2) / (1 - e^(11.2)).
10) Рассчитаем значение e^(11.2):
e^(11.2) ≈ 74694.198.
11) Подставим это значение в уравнение для M_0:
M_0 ≈ -4800 * 74694.198 / (1 - 74694.198).
12) Упрощаем:
M_0 ≈ -4800 * 74694.198 / (-74693.198) ≈ 4800 * (74694.198 / 74693.198) ≈ 4800 * 1.0000134 ≈ 4800.064 кг.
ответ:
Стартовая масса ракеты вместе с топливом должна составлять примерно 4800.064 кг.