Дано:
- Два участка пути одинаковой длины L,
- На первом участке скорость V1, на втором участке скорость V2 (где V1 ≠ V2),
- Время движения на каждом участке равно t1 и t2.
Найти: доказать, что средняя скорость на двух участках равной длины всегда меньше средней скорости на двух участках, времена движения на которых равны.
Решение:
Для того чтобы доказать это неравенство, рассмотрим два случая:
1. Средняя скорость на двух участках с одинаковыми расстояниями (разные скорости на каждом участке):
Общее расстояние на двух участках:
S = L + L = 2L.
Общее время на пути:
t = t1 + t2.
Время для каждого участка можно выразить через скорость:
t1 = L / V1, t2 = L / V2.
Тогда общее время:
t = (L / V1) + (L / V2).
Средняя скорость на этом пути:
Vсред1 = S / t = 2L / ((L / V1) + (L / V2)).
После упрощения:
Vсред1 = 2V1V2 / (V1 + V2).
2. Средняя скорость на двух участках, где время на каждом участке одинаково:
Если время на обоих участках одинаково, то:
t1 = t2 = t.
Скорости на участках V1 и V2:
L = V1 * t, L = V2 * t.
Таким образом, время движения на каждом участке одинаково, и общий путь:
S = 2L.
Средняя скорость в этом случае:
Vсред2 = S / (2t) = 2L / (2t) = L / t.
Поскольку L = V1 * t и L = V2 * t, то:
Vсред2 = (V1 + V2) / 2.
Доказательство неравенства:
Сравнив обе средние скорости:
Vсред1 = 2V1V2 / (V1 + V2),
Vсред2 = (V1 + V2) / 2.
Очевидно, что:
Vсред1 < Vсред2.
Это можно обосновать, заметив, что гармоническое среднее (Vсред1) всегда меньше арифметического среднего (Vсред2) для положительных чисел. Это неравенство следует из того, что для двух разных чисел, их гармоническое среднее всегда меньше арифметического.
Ответ:
Средняя скорость на двух участках равной длины всегда меньше средней скорости на двух участках, времена движения на которых равны.