Question

Пружина прикреплена к двум брускам массами m1 = 600 г и m2 = 1 кг. Когда бруски и пружина находятся на столе в положении, изображённом на рисунке 8.9, а, длина пружины равна 9 см, а когда они находятся в положении, показанном на рисунке 8.9, б, длина пружины равна 7 см.
а) Чему равна длина недеформированной пружины?
б) Чему равна жёсткость пружины?
в) Чему будет равна длина пружины, если подвесить систему за первый брусок?
г) Чему будет равна длина пружины, если подвесить систему за второй брусок?

Answer 1

дано:  
1. m1 = 600 г = 0.6 кг.  
2. m2 = 1 кг.  
3. Длина пружины в положении а: l_a = 9 см = 0.09 м.  
4. Длина пружины в положении б: l_b = 7 см = 0.07 м.

найти:  
а) Длину недеформированной пружины l0.  
б) Жёсткость пружины k.  
в) Длину пружины при подвешивании системы за первый брусок.  
г) Длину пружины при подвешивании системы за второй брусок.

решение:  
а) Удлинение пружины в каждом случае:

delta_l_a = l_a - l0 (для положения а).  
delta_l_b = l_b - l0 (для положения б).

Сила, действующая на пружину от двух брусков:

F_a = (m1 + m2) * g = (0.6 + 1) * 9.81 = 15.882 Н (в положении а).  
F_b = (m2) * g = 1 * 9.81 = 9.81 Н (в положении б).

По закону Гука:  
F_a = k * delta_l_a и F_b = k * delta_l_b.

Подставляя выражения для удлинений:  
F_a = k * (0.09 - l0) и F_b = k * (0.07 - l0).

б) Разделим уравнения:

F_a / F_b = (k * (0.09 - l0)) / (k * (0.07 - l0))  
=> (15.882 / 9.81) = (0.09 - l0) / (0.07 - l0).

Решаем это уравнение:  
15.882(0.07 - l0) = 9.81(0.09 - l0)  
=> 1.11174 - 15.882l0 = 0.8829 - 9.81l0  
=> 6.072l0 = 0.22884  
=> l0 ≈ 0.0377 м = 3.77 см.

в) Подвешиваем систему за первый брусок:  
Силы, действующие на пружину:  
F = m1 * g = 0.6 * 9.81 = 5.886 Н.  
Для этого случая длина пружины будет:  
F = k * (l' - l0), где l' - новая длина пружины.

Итак, 5.886 = k * (l' - 0.0377). Используем найденное значение k из предыдущего шага (по отношению к F_a):
k = 15.882 / (0.09 - 0.0377) = 15.882 / 0.0523 ≈ 303.25 Н/м.

Теперь можно найти l':  
5.886 = 303.25 * (l' - 0.0377)  
l' - 0.0377 = 5.886 / 303.25  
l' = 0.0377 + 0.0194 ≈ 0.0571 м = 5.71 см.

г) Подвешиваем систему за второй брусок:  
Сила:  
F = m2 * g = 1 * 9.81 = 9.81 Н.  
Аналогично:  
9.81 = 303.25 * (l'' - 0.0377).

Решая:  
l'' - 0.0377 = 9.81 / 303.25  
l'' = 0.0377 + 0.0323 ≈ 0.07 м = 7 см.

ответ:  
а) Длина недеформированной пружины l0 равна примерно 3.77 см.  
б) Жёсткость пружины k равна примерно 303.25 Н/м.  
в) Длина пружины при подвешивании за первый брусок равна примерно 5.71 см.  
г) Длина пружины при подвешивании за второй брусок равна 7 см.