дано:
1. Длина наклонной плоскости L = 2 м.
2. Угол наклона α = 20°.
3. Коэффициент трения μ = 0,5.
4. Ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с².
найти:
Необходимую начальную скорость v₀, чтобы брусок достиг нижней точки наклонной плоскости.
решение:
1. Определим силы, действующие на брусок:
- Сила тяжести: F_g = m * g.
- Компоненты силы тяжести вдоль и перпендикулярно плоскости:
F_gx = m * g * sin(α),
F_gy = m * g * cos(α).
2. Подставляем угол наклона α = 20°:
- F_gx = m * g * sin(20°) ≈ m * 9,81 * 0,342 ≈ 3,36m.
- F_gy = m * g * cos(20°) ≈ m * 9,81 * 0,940 ≈ 9,22m.
3. Сила нормальной реакции N равна:
N = F_gy = m * g * cos(20°) ≈ 9,22m.
4. Сила трения:
F_tr = μ * N = μ * (m * g * cos(20°)) = 0,5 * 9,22m ≈ 4,61m.
5. Составим уравнение движения по наклонной плоскости:
По второму закону Ньютона: F_net = F_gx - F_tr = m * a,
где a - ускорение бруска.
F_net = m * g * sin(20°) - μ * m * g * cos(20°).
Упрощаем:
m * a = m * g * sin(20°) - μ * m * g * cos(20°).
Убираем m (при m ≠ 0):
a = g * (sin(20°) - μ * cos(20°)).
6. Подставим значения:
a ≈ 9,81 * (0,342 - 0,5 * 0,940) ≈ 9,81 * (0,342 - 0,470) ≈ 9,81 * (-0,128) ≈ -1,26 м/с².
7. Теперь используем закон сохранения энергии для нахождения начальной скорости v₀. Полная механическая энергия должна быть равна работе сил трения:
E_initial + работа = E_final.
Работа сил трения W = F_tr * L = (0,5 * mg * cos(20°)) * L.
Высота h наклонной плоскости:
h = L * sin(20°) = 2 * 0,342 ≈ 0,684 м.
Потенциальная энергия в верхней точке:
PE_initial = mgh = m * 9,81 * 0,684 ≈ 6,71m.
Энергия внизу (если bрусок достигнет дна):
E_final = 0 (все превращается в кинетическую и работу против трения).
m * v₀² / 2 - W = 0,
=> m * v₀² / 2 = m * 4,61 * 2,
=> v₀² / 2 = 4,61 * 2,
=> v₀² = 9,22,
=> v₀ = sqrt(9,22) ≈ 3,03 м/с.
ответ:
Необходимая начальная скорость v₀, направленная вдоль наклонной плоскости вниз, составляет приблизительно 3,03 м/с.