Question

Брусок толкнули вверх с начальной скоростью v0 = 5 м/с вдоль длинной наклонной плоскости с углом наклона α = 30°. Коэффициент трения между бруском и плоскостью μ = 0,3.
а) Запишите второй закон Ньютона для бруска при его движении по наклонной плоскости вверх в виде системы уравнений для проекций на оси координат.
б) Выразите модуль ускорения бруска при его движении по наклонной плоскости вверх через угол наклона плоскости и коэффициент трения. Найдите значение ускорения.
в) Выразите время t1 движения бруска по наклонной плоскости вверх через v0, α, μ. Найдите значение этого времени.
г) Выразите путь, пройденный бруском при его движении вверх, через v0, α, μ. Найдите значение этого пути.
д) Объясните, почему брусок начнёт соскальзывать с наклонной плоскости после того момента, когда его скорость станет равной пулю.
е) Выразите ускорение бруска при его движении по наклонной плоскости вниз через угол наклона плоскости и коэффициент трения. Найдите значение ускорения.
ж) Выразите время t2 движения бруска по наклонной плоскости вниз при возвращении в начальную точку через v0, α, μ. Вычислите это время.

Answer 1

дано:  
1. Начальная скорость v₀ = 5 м/с.  
2. Угол наклона α = 30°.  
3. Коэффициент трения μ = 0,3.  
4. Ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с².

найти:  
а) Систему уравнений для второго закона Ньютона.  
б) Модуль ускорения бруска при движении вверх.  
в) Время t₁ движения бруска вверх.  
г) Путь, пройденный бруском при движении вверх.  
д) Причину, почему брусок начнёт соскальзывать.  
е) Ускорение бруска при движении вниз.  
ж) Время t₂ возврата бруска в начальную точку.

решение:

а) Запишем второй закон Ньютона:
- По оси Х (вдоль плоскости):
  F_x = m * a_x,
  где F_x = -m * g * sin(α) - F_tr.
  
  Сила трения F_tr = μ * N = μ * m * g * cos(α).

  Полное уравнение:
  -m * g * sin(30°) - μ * m * g * cos(30°) = m * a_x.

- По оси Y (перпендикулярно плоскости):
  N - m * g * cos(α) = 0,
  откуда N = m * g * cos(30°).

б) Выразим модуль ускорения при движении вверх:
a = (-g * sin(α) - μ * g * cos(α)).
Подставляем угол α = 30°:
a = (-9,81 * sin(30°) - 0,3 * 9,81 * cos(30°)) = (-9,81 * 0,5 - 0,3 * 9,81 * 0,866).
a = -4,905 - 2,543 ≈ -7,448 м/с².

в) Найдём время t₁:
Используем уравнение движения: v = v₀ + a * t,
где конечная скорость v = 0.
0 = 5 + (-7,448) * t₁,
t₁ = 5 / 7,448 ≈ 0,672 с.

г) Найдём путь s при движении вверх:
s = v₀ * t + (a * t²) / 2.
s = 5 * 0,672 + (-7,448 * (0,672)²) / 2.
s ≈ 3,36 - 1,65 ≈ 1,71 м.

д) Брусок начнёт соскальзывать, когда его скорость станет равной нулю, так как сила трения не будет достаточной для удержания бруска на плоскости. При достижении нуля скорости брусок будет подвержен действию силы тяжести и начнет скатываться обратно.

е) Ускорение при движении вниз:
a_down = g * sin(α) - μ * g * cos(α).
Подставим значения:
a_down = 9,81 * sin(30°) - 0,3 * 9,81 * cos(30°).
a_down = 4,905 - 2,543 ≈ 2,362 м/с².

ж) Найдём время t₂ возвращения:
v = v₀ + a * t₂,
где v = 5 м/с (начальная скорость при движении вниз):
5 = 0 + 2,362 * t₂,
t₂ = 5 / 2,362 ≈ 2,12 с.

ответ:  
а) Система уравнений для второго закона Ньютона по осям X и Y записана.  
б) Модуль ускорения бруска при движении вверх составляет примерно -7,448 м/с².  
в) Время t₁ движения бруска вверх составляет приблизительно 0,672 с.  
г) Путь, пройденный бруском при движении вверх, составляет примерно 1,71 м.  
д) Брусок начнёт соскальзывать при достижении нуля скорости.  
е) Ускорение бруска при движении вниз составляет примерно 2,362 м/с².  
ж) Время t₂ возврата бруска в начальную точку составляет примерно 2,12 с.