Дано:
Масса камня m = 200 г = 0.2 кг
Высота h = 15 м
Угол броска α = 30°
Время полёта T = 3 с
Сопротивление воздуха пренебрегаем.
a) Модуль изменения импульса камня за первую секунду полёта.
Найдем изменение импульса за первую секунду. Изменение импульса камня за промежуток времени можно выразить через изменение его скорости, так как импульс равен произведению массы на скорость.
1. Изменение импульса за первую секунду по вертикальной оси:
Сначала нужно найти вертикальную скорость через 1 секунду. Вертикальная составляющая скорости будет изменяться за счет ускорения g = 9.81 м/с².
Начальная вертикальная скорость V0y = V0 * sin(α), где V0 — начальная скорость, α — угол броска.
Через 1 секунду вертикальная скорость будет V1y = V0y - g * 1, так как через 1 секунду ускорение действует на скорость.
Изменение импульса по вертикали Δp_vertical = m * (V1y - V0y).
2. Горизонтальная составляющая скорости не изменяется, так как сопротивление воздуха пренебрегаем.
Модуль изменения импульса за первую секунду будет равен только изменению вертикального импульса. Рассчитаем это:
Решение:
1. Начальная скорость камня V0 = ?
Скорость можно найти через уравнение движения по времени полёта. Камень пролетает время T = 3 с, и для определения начальной скорости будем использовать вертикальную составляющую:
h = V0y * T - (1/2) * g * T².
Подставим V0y = V0 * sin(30°), T = 3 с, g = 9.81 м/с² и h = 15 м:
15 = (V0 * sin(30°)) * 3 - (1/2) * 9.81 * 3².
Решим это уравнение:
15 = (V0 * 0.5) * 3 - (1/2) * 9.81 * 9.
15 = 1.5 * V0 - 44.145.
1.5 * V0 = 59.145.
V0 = 59.145 / 1.5 = 39.43 м/с.
Теперь найдем начальную вертикальную скорость V0y:
V0y = V0 * sin(30°) = 39.43 * 0.5 = 19.715 м/с.
2. Скорость через 1 секунду:
V1y = V0y - g * 1 = 19.715 - 9.81 = 9.905 м/с.
3. Изменение импульса по вертикали:
Δp_vertical = m * (V1y - V0y) = 0.2 * (9.905 - 19.715) = 0.2 * (-9.81) = -1.962 Н·с.
Ответ: модуль изменения импульса за первую секунду полёта равен 1.962 Н·с, а изменение направлено вниз.
б) Модуль изменения импульса за всё время полёта.
Изменение импульса за всё время полёта будет равно разнице импульса в конечный момент времени и начальном моменте.
1. В начальный момент импульс камня P0 = m * V0.
В конечный момент времени скорость камня будет направлена вниз, и её можно найти через полное время полёта. Падение камня с высоты 15 м, используя вертикальную скорость:
V_final = V0y - g * T = 19.715 - 9.81 * 3 = 19.715 - 29.43 = -9.715 м/с.
Таким образом, итоговый импульс P_final = m * V_final = 0.2 * (-9.715) = -1.943 Н·с.
Изменение импульса за время полёта:
Δp_total = P_final - P0 = -1.943 - 0.2 * 39.43 = -1.943 - 7.886 = -9.829 Н·с.
Ответ: модуль изменения импульса за всё время полёта равен 9.829 Н·с.
в) Начальная скорость камня.
Как уже нашли ранее, начальная скорость V0 = 39.43 м/с.
Ответ: начальная скорость камня равна 39.43 м/с.
г) Минимальное значение модуля импульса камня во время полёта.
Минимальное значение импульса будет достигаться в момент, когда вертикальная скорость камня будет равна нулю. Это происходит в момент подъёма, в вершине траектории, когда вертикальная скорость становится нулевой.
В этот момент импульс будет зависеть только от горизонтальной скорости. Горизонтальная скорость на всём пути остаётся постоянной и равной V0x = V0 * cos(30°) = 39.43 * 0.866 = 34.14 м/с.
Минимальный импульс будет:
P_min = m * V0x = 0.2 * 34.14 = 6.828 Н·с.
Ответ: минимальное значение модуля импульса камня во время полёта равно 6.828 Н·с.