Question

Горизонтальная пружина жёсткостью k прикреплена к степс. Её сжимают бруском массой m (рис. 18.6). В начальный момент брусок удерживают в покое в положении, при котором деформация пружины равна х0. Брусок отпускают без толчка, после чего пружина возвращается в недеформированное состояние, а брусок после этого некоторое время скользит по столу вправо до остановки. Коэффициент трения между бруском и столом равен μ, модуль перемещения бруска равен s.
а) Запишите выражения для конечной и начальной механической энергии системы «брусок + пружина», а также для её изменения.
б) Запишите выражение для работы силы трения скольжения.
в) Запишите уравнение, связывающее изменение механической энергии и работу силы трения скольжения.
г) В полученное вами уравнение входят пять величин: k, x0, μ, m, s. Следовательно, можно поставить пять задач, в каждой из которых требуется выразить одну из этих величин, считая её искомой, через остальные величины, считая их заданными. Поставьте две такие задачи и решите их.

Answer 1

Дано:
- жёсткость пружины k (Н/м)
- масса бруска m (кг)
- деформация пружины x0 (м)
- коэффициент трения между бруском и столом μ (безразмерный)
- модуль перемещения бруска s (м)

Найти:
а) выражения для начальной и конечной механической энергии системы «брусок + пружина», а также для её изменения.
б) выражение для работы силы трения скольжения.
в) уравнение, связывающее изменение механической энергии и работу силы трения скольжения.
г) две задачи на нахождение одной из пяти величин.

Решение:

а) Начальная механическая энергия системы (E_нач) равна потенциальной энергии сжатой пружины:
E_нач = (1/2) * k * x0².

Конечная механическая энергия системы (E_кон) равна кинетической энергии бруска, когда пружина возвращается в недеформированное состояние. Брусок останавливается, поэтому:
E_кон = 0.

Изменение механической энергии (ΔE) равно:
ΔE = E_кон - E_нач = 0 - (1/2) * k * x0² = -(1/2) * k * x0².

Ответ:
Начальная механическая энергия E_нач = (1/2) * k * x0², конечная механическая энергия E_кон = 0, изменение механической энергии ΔE = -(1/2) * k * x0².

б) Работа силы трения (A_тр), действующей против движения бруска, определяется как произведение силы трения на расстояние, пройденное бруском:
Сила трения F_тр = μ * m * g.
Работа силы трения будет:
A_тр = F_тр * s = μ * m * g * s.

Ответ:
Работа силы трения скольжения A_тр = μ * m * g * s.

в) Связь между изменением механической энергии и работой силы трения:
ΔE + A_тр = 0.
Подставим выражения:
-(1/2) * k * x0² + μ * m * g * s = 0.

Ответ:
Уравнение: -(1/2) * k * x0² + μ * m * g * s = 0.

г) Задача 1: Найти жёсткость пружины k через остальные величины.

Из уравнения:
μ * m * g * s = (1/2) * k * x0².
К выразим k:
k = (2 * μ * m * g * s) / x0².

Задача 2: Найти модуль перемещения b s через остальные величины.

Из уравнения:
-(1/2) * k * x0² + μ * m * g * s = 0.
К выразим s:
s = (1/2) * k * x0² / (μ * m * g).

Ответ:
1) Жёсткость пружины k = (2 * μ * m * g * s) / x0².
2) Модуль перемещения b s = (1/2) * k * x0² / (μ * m * g).