Задача 1
Дано:
- минимально возможная сила натяжения нити T_min = 3 Н.
Найти:
а) массу шарика m.
б) пределы изменения силы натяжения нити при движении шарика.
Решение:
а) В момент, когда нить горизонтальна, на шарик действуют две силы: сила тяжести F_g и сила натяжения T. Сила тяжести равна F_g = m * g.
При условии, что минимально возможная сила натяжения равна 3 Н, мы можем записать уравнение:
T_min = F_g + m * v^2 / r,
где v — скорость шарика, r — радиус окружности (длина нити).
Находим массу шарика, при этом учитываем, что в момент, когда шарик находится в верхней точке, сила натяжения минимальна. Для упрощения, будем считать r = l (длину нити), а скорость в верхней точке v_min.
В этом случае:
3 Н = m * g + m * v^2 / l.
Используем значение g = 9.81 м/с² и переставим уравнение для массы:
m * g + m * v_min^2 / l = 3.
Чтобы найти массу, необходимо знать v_min.
Для минимально возможной скорости в верхней точке:
v_min = √(g * l).
Теперь подставим это значение:
3 = m * 9.81 + m * (g * l) / l,
3 = m * 9.81 + m * g,
3 = m * (9.81 + 9.81).
Теперь найдем массу:
3 = m * 19.62,
m = 3 / 19.62 ≈ 0.153 кг.
б) Максимальная сила натяжения будет в нижней точке, где:
T_max = F_g + m * v_max^2 / r.
При максимальной скорости в нижней точке:
T_max = m * g + m * v_max^2 / l.
С учетом, что v_max > v_min и T_max > T_min, то T_max может принимать любые значения, выше 3 Н, в зависимости от начальной энергии.
Задача 2
Дано:
- длина стержня l = длина нити.
- масса шарика m = 0.153 кг (найденная ранее).
Найти:
а) минимально возможную скорость шарика в верхней точке траектории v_min.
б) минимально возможную скорость шарика в нижней точке траектории v_max.
в) ускорение шарика в нижней точке траектории a и его направление.
г) минимально возможный вес шарика в нижней точке траектории.
Решение:
а) Минимально возможная скорость в верхней точке:
v_min = √(g * l).
б) Минимально возможная скорость в нижней точке:
v_max = √(g * l + 2 * E_p),
где E_p — потенциальная энергия (принимаем равной 0, если она не задана).
v_max = √(g * l + 2 * m * g * l),
v_max = √(3 * g * l) = √(3 * 9.81 * l).
в) Ускорение в нижней точке:
a = v_max^2 / l.
Ускорение направлено к центру окружности (радиальное ускорение). Подставляем v_max:
a = (√((3 * 9.81 * l))^2) / l = 3 * 9.81 = 29.43 м/с².
г) Минимально возможный вес шарика в нижней точке:
W_min = m * g + m * v_max^2 / l.
Подставляя значение:
W_min = m * g + m * (3 * g * l) / l,
W_min = m * (g + 3 * g) = 4 * m * g = 4 * 0.153 * 9.81 ≈ 6.0 Н.
Ответ:
а) Масса шарика равна примерно 0.153 кг.
б) Сила натяжения нити изменяется от 3 Н до значений больше 3 Н в зависимости от скорости.
в) Минимально возможная скорость в верхней точке составляет √(g * l).
б) Минимально возможная скорость в нижней точке составляет √(3 * g * l).
в) Ускорение в нижней точке равно 29.43 м/с², направлено к центру окружности.