Question

Небольшая шайба массой m скользит по жёлобу, переходящему в окружность радиусом r. Начальная высота шайбы Н = 2r. Сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь. Обозначим h высоту, на которой шайба оторвётся от жёлоба.
а) Изобразите на чертеже силы, действующие на шайбу в момент, когда она отрывается от жёлоба.
б) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения энергии в механике при переходе шайбы из начального положения в точку, где шайба отрывается от жёлоба. Обозначьте v модуль скорости шайбы в этот момент.
в) Запишите в проекциях на ось х уравнение второго закона Ньютона для шайбы в момент, когда она отрывается от жёлоба. Ось х направьте из положения шайбы к центру окружности.
г) Найдите выражение для высоты h, на которой шайба оторвётся от жёлоба.

Answer 1

Дано:
- Масса шайбы: m (кг)
- Радиус окружности: r (м)
- Начальная высота: H = 2r (м)

Найти:
- Высоту h, на которой шайба оторвётся от жёлоба.

Решение:
а) На чертеже в момент, когда шайба отрывается от жёлоба, действуют следующие силы:
1. Сила тяжести: Fg = mg направлена вниз.
2. Центростремительная сила: Fc = mv^2/r направлена к центру окружности.

б) Применим закон сохранения механической энергии.
Начальная потенциальная энергия (U1) равна:
U1 = mgh_initial = mgH

Кинетическая энергия (K1) в начале равна нулю, так как шайба начинает движение.

Когда шайба находится на высоте h и имеет скорость v, её потенциальная энергия (U2) и кинетическая энергия (K2) будут равны соответственно:
U2 = mgh
K2 = 0.5mv^2

По закону сохранения энергии:
U1 = U2 + K2
mgH = mgh + 0.5mv^2

Сократим массу m:
gH = gh + 0.5v^2

в) В момент, когда шайба отрывается от жёлоба, уравнение второго закона Ньютона для проекции на ось х будет:
Fc - Fg * sin(θ) = m * a,

где θ - угол наклона жёлоба, а a - центростремительное ускорение.

Для случая отрыва шайбы, centripetal acceleration можно выразить через скорость и радиус:
a_c = v^2 / r.

Сила тяжести в проекции на ось x будет равна mg * sin(θ).

Тогда уравнение становится:
mv^2/r - mg * sin(θ) = m * (v^2 / r).

г) Чтобы найти высоту h, подставим значения из уравнения сохранения энергии и выражения для второй силы в уравнении Ньютона.

Сначала найдем угол θ, когда шайба отрывается. При отрыве, центростремительная сила должна быть равна весу шайбы:
mg * sin(θ) = mv^2/r.

Таким образом:
v^2 = g * r * sin(θ).

Теперь подставляем это значение в уравнение сохранения энергии:
gH = gh + 0.5(g * r * sin(θ)).

Подставим H = 2r:
g(2r) = gh + 0.5(g * r * sin(θ)).

Упрощая уравнение, получаем:
2gr = gh + 0.5gr * sin(θ).

Переносим все на одну сторону:
2gr - gh - 0.5gr * sin(θ) = 0.

Выражаем h:
h = 2r - 0.5r * sin(θ).

Чтобы найти sin(θ), используем геометрию. Для небольших углов θ ≈ h/r, следовательно sin(θ) ≈ h/r.

Подставляя это значение обратно в уравнение, получим:
h = 2r - 0.5r * (h/r) ⇒ h + 0.5h = 2r ⇒ 1.5h = 2r ⇒ h = 4/3 r.

Ответ: h = (4/3) r.